Unique Path - 唯一路径

问题

在$n$行$m$列的二维矩阵上从左上角移动到右下角$[1,1] \rightarrow [n,m]$，每次移动只能向右/向下移动。求有多少种不同的路径。

解法

设$f(i,j)$为从$[1,1]$到$[i,j]$的不同路径的数量，其中$i \in [1,n], j \in [1,m]$。因此有如下状态转移方程：

$$f(i,j) = \begin{cases} 0 & (initialize) & i \in [0,n], j \in [0,m] \\ 1 & (initialize) & i = j = 1 \\ f(i-1,j) + f(i,j-1) & (loop) & i \in [1,n], j \in [1,m] \end{cases}$$

$(1)$ 初始化，设$f(1,1) = 1$，认为从$[1,1]$到$[1,1]$的路径有1条，实际编码是设$f(0,1)=f(1,0)=f(1,1)=1$；

$(2)$ 对于节点$[i,j]$，既可以从上方$[i,j-1]$过来，也可以从左方$[i-1,j]$过来。因此$f(i,j) = f(i-1,j)+f(i,j-1)$；

$f(n,m)$即为从$[1,1]$到$[n,m]$的不同路径的数量。该算法的时间复杂度是$O(n \times m)$。

LeetCode

• https://leetcode.com/problems/unique-paths/description/

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