Modular Exponentiation - 模幂运算

给定正整数 $b, e, m$ ，求：

$c = b^{e} \pmod{m}$

按照次方运算的原理，初始化 $c = 1$ ，重复 $e$ 次：

$c = (c \times b) \bmod m$

即为所求，该算法的时间复杂度为 $O(e)$ 。

根据二进制可知，任何正整数 $e$ 都可以用 $n$ 个 $2$ 的次方和来表示：

$e = \sum_{i=0}{n-1} a_{i} \cdot 2^{i}$

其中 $n$ 是正整数 $e$ 中1的数量， $a_{i}$ 要么为 $0$ 要么为 $1$ ，且 $a_{n-1} = 1$ 。因此 $b^{e}$ 可以转换为：

$b^{e} = b^{(\sum_{i=0}{n-1} a_{i} \cdot 2^{i})} = \prod_{i=0}{n-1} (b^{2^{i}})^{a_{i}}$

因此模幂运算转换为：

$c \equiv \prod_{i=0}{n-1} (b^{2^{i}})^{a_{i}} \pmod{m}$

计算每个元素 $(b^{2^{i}})^{a_{i}}$ ，若 $a_{i} = 0$ 则结果必然为 $1$ ，不必计算，若 $a_{i} = 1$ 则需要 $2^{i}$ 次乘法，即时间复杂度为 $O(2^{i})$ （其中 $0 \leq i \leq n-1$ ）。

该算法的时间复杂度为 $O(\sum_{i=0}{n-1} 2^{i} \cdot a_{i})$ 。

求正整数 $e$ 中所有为1的bit位的方法，与本书第三章DataStructure中FenwickTree一节使用的方法一样，不再赘述。

快速求幂算法基于以下公式：

$b^e = \begin{cases} 1 & e = 0 b & e = 1 (b \times (b^2)^{\frac{e-1}{2}}) \bmod m & b is odd ((b^2)^{\frac{e}{2}}) \bmod m & b is even \end{cases}$

该算法的时间复杂度为 $O(log_2 e)$ 。