Euler Cycle - 欧拉回路

问题

求无向图$UG$和有向图$DG$的欧拉回路。

无向图判断欧拉回路的存在

无向图$UG$的任意顶点$v_i$的度数为偶数（注意这里的度数是指无向图的边数），则该无向图存在欧拉回路；

无向图求欧拉回路

用$Fleury$算法求无向图$G=<V,E>$的欧拉回路。设$G(i,j) = 1$表示顶点$v_i$可以到达顶点$v_j$，$G(i,j) = 0$表示顶点$v_i$无法到达$v_j$。

上面的无向图可以表示为矩阵：

$$G = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

类似DFS搜索。从任意顶点$v_0$开始访问，选取它的邻节点$v_j$作为下一个访问的顶点（经过边$e_{0,j}$，根据无向图性质可知，必然有$G(i,j) = G(j,i) = 1$）。每经过一条边将其删除（令$G(i,j) = G(j,i) = 0$），递归的重复该搜索操作，直到再次回到起点$v_0$，算法结束。整个过程中经过的边即为该图的欧拉回路。如图所示：

$Fleury$算法的时间复杂度是$O(\| E \|)$。

有向图判断欧拉回路的存在

有向图$DG$的任意顶点$v_i$满足$in_{i} = out_{i}$，即出度等于入度，则该有向图存在欧拉回路；

有向图求欧拉回路

有向图的欧拉回路的求解方法与无向图一样。

源码

EulerCycle.h

EulerCycle.cpp

测试

EulerCycleTest.cpp