Section-1 Traverse

第1节 遍历

1. DepthFirstSearch(DFS) - 深度优先搜索
2. BreadthFirstSearch(BFS) - 广度优先搜索
3. TopologicalSort - 拓扑排序
4. EulerCycle - 欧拉回路

图（Graph）

图$G = <V,E>$是由顶点集合$V$和边集合$E$组成的数据结构。一个边连接两个顶点，若两顶点$u$和$v$为一条边的两个端点，则称$u$和$v$相邻。

图$G$的子图的所有顶点和边都属于图$G$。

完全图（Complete Graph）的所有顶点两两相邻。如下图所示：

有向图（Directed Graph）/无向图（Undirected Graph）

无向边$e$的两端点是$u$和$v$，表示既可以从$u$到达$v$，也可以从$v$到达$u$。有向边$e$从$u$指向$v$，表示只能从$u$到达$v$，而不能反向。一条无向边也可以看作两条方向相反，端点相同的有向边的组合。

所有边都是无向边的图为无向图（Undirected Graph），所有边都是有向边的图为有向图（Directed Graph）。

度数（Degree）/出度（Out Degree）/入度（In Degree）

节点$u$的出度（Out Degree）是从节点$u$出发的边的数量，也称为出度度数，从节点$u$出发的边称为出弧边。无向图的顶点$u$的所有边都可以看作出弧边，即节点的边数等于出度。

节点$u$的入度（In Degree）是到达（指向）节点$u$的边的数量，也称为入度度数，到达节点$u$的边称为入弧边。无向图的顶点$u$的所有边都可以看作入弧边，即节点的边数等于入度。无向图中每个节点的出度和入度相等。

节点$u$所关联的边数，称作该节点的度数（Degree）。无向图中节点$v_i$的度数等于边的数量，等于出度度数，等于入度度数。有向图中任意节点$v_i$的度数等于出度度数与入度度数之和。如下图所示：

上面两个图，图$A$为有向图，节点$[0,5]$的出度分别为$[2, 2, 1, 1, 2, 1]$，入度分别为$[1, 1, 2, 2, 0, 2]$。图$B$为无向图，节点$[0,5]$的出度分别为$[3, 4, 3, 3, 2, 3]$，入度与出度一样。

一般用$n \times n$的矩阵表示一个拥有$n$个节点的图$G$，节点范围为$[0,n-1]$。$G[i,j]$表示从节点$i$到$j$的距离（$i,j \in [0,n-1]$），或节点$i$是否可以直接到达节点$j$，等等信息。注意节点$i$到自己的距离为$0$，不能到达自己。上图中$A$和$B$可以表示为矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

环（Cycle）

若图$G$中对于顶点$v_i$，存在一条路径从它出发可以到达自己，则称该路径为一个环。不存在环的图称为无环图，存在环的图称为有环图。完全图都是有环图。

拓扑排序（Topological Sort）

拓扑排序（Topological Sort）是有向无环图中所有顶点按照依赖进行的排序。

设完成任务$j$需要先完成任务$i$，则任务$j$依赖任务$i$。用有向图表示这一组任务的完成过程这样存在依赖关系的$n$个任务，即存在边$e_{i,j}$从顶点$v_i$指向$v_j$，最终得到一个有向无环图。如下图所示：

路径（Path）/回路（Cycle）

图$G$的路径（Path）是一组边的有序集合，表示随着时间依次经过的边的顺序。回路（Cycle）是起点和终点相同的路径。

欧拉路径（Eulerian Path）/欧拉回路（Eulerian Cycle）

欧拉路径（Eulerian Path）经过图$G$中每条边一次且仅一次（同一个顶点可以经过多次），遍历所有边。

判断欧拉路径：

$(1)$ 判断有向图是否存在欧拉路径：有向图$DG$中存在一个起始顶点$v_0$满足出度比入度大1（$out_{1} = in_{1} + 1$），存在一个终止顶点$v_1$满足入度比出度大1（$in_{2} = out_{2} + 1$），其余所有顶点的入度等于出度，则该有向图$DG$中存在欧拉路经；

$(2)$ 判断无向图是否存在欧拉路径：无向图$UG$中存在两个顶点$v_0$和$v_1$满足度数为奇数，其余节点的度数都是偶数，则该无向图$UG$中存在欧拉路经；

欧拉回路（Eulerian Cycle）是既是欧拉路径又是回路的路径。

判断欧拉回路：

$(1)$ 判断有向图是否存在欧拉回路：有向图$DG$的任意顶点$v_i$满足$in_{i} = out_{i}$，出度等于入度，则该有向图$DG$中存在欧拉回路；

$(2)$ 判断无向图是否存在欧拉回路：无向图$UG$的任意顶点$v_i$满足度数为偶数，则该无向图$DG$中存在欧拉回路；

拥有欧拉回路的图$G$称为欧拉图（Eulerian Graph）。

汉密尔顿路径（Hamilton Path）/哈密尔顿回路（Hamilton Cycle）

汉密尔顿路径（Hamilton Path）经过图$G$中每个顶点一次且仅一次（同一条边可以经过多次），遍历所有顶点。求解汉密尔顿路径是一个NP完全问题。

哈密尔顿回路（Hamilton Cycle）是既是哈密尔顿路径又是回路的路径。

拥有汉密尔顿回路的图$G$称为汉密尔顿图。完全图必然是汉密尔顿图。

Introduction To Algorithms

• VI.Graph Algorithms

图论术语

• https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_graph_theory_terms