Section-3 Shortest Path

第3节 最短路径

1. BellmanFord - BellmanFord算法
2. Dijkstra - Dijkstra算法
3. FloydWarshall - FloydWarshall算法
4. DifferentConstraints - 差分约束

最短路径（Shortest Path）/松弛操作（Relaxation）

图$G$中所有边都拥有一个正整数距离$dist$，若从顶点$v_i$可以到达$v_j$，必然存在一条距离最短的路径，即最短路径。最短路径中不存在环。

存在边的距离为0，或负值的图不存在最短路径。距离为0的边可以无限重复使用而不会增加两顶点之间的距离，距离为负值的边可以减小整个路径的距离，这些情况都会让最短路径中出现环。

用$dist(i,j)$表示顶点$v_i$到达$v_j$的最短距离（$dist(i,j) = + \infty$表示$v_i$到$v_j$的距离为无限远，即不可达）。当存在顶点$k$满足：

$$dist(i,j) > dist(i,k) + dist(k,j)$$

说明$v_i$经由$v_k$到达$v_j$的距离比当前已知的最短路径距离更近，这时更新$v_i, v_j$之间的距离：

$$dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)$$

下图演示了一个最简单的松弛操作：

该更新过程即为松弛操作，松弛操作是最短路径算法的主要手段。

Introduction To Algorithms

• VI.Graph Algorithms

图论术语

• https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_graph_theory_terms