Maximum Continuous Subsequence Sum - 最大连续子序列和

问题

序列$s$的连续子序列是原序列的子集，元素在原序列中是连续的。例如$s = [-1,2,3]$的连续子序列有

$$[-1,2,3],[-1,2],[2,3],[-1],[2],[3],[]$$

所有子序列的各个元素之和中最大的是$5 = [2,3]$（显然负数会使子序列之和减小）。

求序列$s$的最大连续子序列的和。

解法

设序列$s$长度为$n$（数组从$1$开始，范围$[1,n]$）。设$f(i)$为$s = [1,i]$的最大连续子序列的和，则有状态转移方程：

$$f(i) = \begin{cases} 0 & (initialize) & i \in [0,n] \\ s[i] & (loop) & i \in [1,n], f(i-1) \leq 0 \\ f(i-1) + s[i] & (loop) & i \in [1,n], f(i-1) \gt 0 \end{cases}$$

$(1)$ 初始化$[1,i]$之间的连续子序列和为$f(i) = 0$；

$(2)$ 对于元素$s[i]$，若前$i-1$个元素之和$f(i-1) \leq 0$，则之前部分的子序列和会使最终的和变小（因为是负值），所以直接抛弃之前的所有序列，把$s[i]$作为子序列的起始，则当前最大子序列和为$f(i) = s[i]$；

$(3)$ 对于元素$s[i]$，若前$i-1$个元素之和$f(i-1) \gt 0$，则之前部分的子序列和会使最终的和变大（因为是正值），所以在之前的子序列和基础上继续累加，则当前最大子序列和为$f(i) = f(i-1) + s[i]$；

$f(n)$即为序列$s$的最大连续子序列和。该算法的时间复杂度为$O(n)$。

源码

MaximumContinuousSubsequenceSum.h

MaximumContinuousSubsequenceSum.cpp

测试

MaximumContinuousSubsequenceSumTest.cpp