Chapter-7 Combination Mathematics

第7章组合数学

集合划分

集合 $X$ 的划分是 $X$ 的非空子集的集合，使得 $X$ 的所有元素都包含且只包含在这些子集中的一个。等价的说，集合 $P$ 是 $X$ 的划分，如果

$(1)$ $P$ 的所有成员都是 $X$ 的子集，且不是空集；

$(2)$ $P$ 的所有成员的并集即为 $X$ ；

$(3)$ $P$ 的任意两个成员的交集为空集；

集合 $P$ 中的成员也称为 $X$ 的一个部分。

例如集合

$X = [ 1,2,3,4,5,6 ]$

存在一个划分

$P = [ [1],[2,6],[3,4],[5] ]$

P的所有成员 $[1], [2,6], [3,4], [5]$ 都是 $X$ 的一个部分。

加法原理

集合 $X$ 的元素数量等于 $X$ 的所有部分的元素数量之和，即 $\| X \| = \| X_1 \| + \| X_2 \| + \dots + \| X_n \|$ 。

乘法原理

若集合 $X$ 中的所有元素都是由两个数字组成的序列，即序偶 $(a,b)$ 。其中第一个元素 $a$ 来自拥有 $p$ 个元素的集合 $A$ ，第二个元素 $b$ 来自拥有 $q$ 个元素的集合 $B$ 。则集合 $X$ 的元素数量为 $\| X \| = p \times q$ 。

减法原理

设集合 $Y$ 包含集合 $X$ ，集合 $X$ 在 $Y$ 中的补集为 $X'$ ，则 $\| X \| = \| Y \| - \| X' \|$ 。

除法原理

集合 $X$ 被划分为 $p$ 个部分，每个部分的元素数量都为 $q$ ，则 $\| X \| = p \times q$ 。

组合

在包含 $n$ 个互不相同元素的集合 $A$ 中选出任意 $m$ 个元素（ $m \leq n$ ）组成集合 $B$ 。

集合没有顺序的概念，若对于 $\forall x \in A$ ，都有 $\exists x \in B$ ；同时对于 $\forall y \in B$ ，都有 $\exists y \in A$ ，则称 $A = B$ 。

从 $n$ 个元素的集合中任意取出 $m$ 个元素能够组成的不同集合的数量为：

$C_m^n = \bigl( \begin{smallmatrix} n \\ m \end{smallmatrix} \bigr) = \frac{(P_m^n)}{m!} = \frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}$

在二项式定理（ (1+x)^n 的多项式展开中 $x^k$ （其中 $k \in [0, n]$ ）的系数即为 $\bigl( \begin{smallmatrix} n \\ k \end{smallmatrix}\bigr)$ ，等同于组合学中从 $n$ 个元素中选出 $k$ 个元素组成集合的所有组合数量。">https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient）中，二项式幂 $(1+x)^n$ 的多项式展开中 $x^k$ （其中 $k \in [0, n]$ ）的系数即为 $\bigl( \begin{smallmatrix} n \\ k \end{smallmatrix}\bigr)$ ，等同于组合学中从 $n$ 个元素中选出 $k$ 个元素组成集合的所有组合数量。

例如对于 $(x+1)^2 = 1x^0 + 2x^1 + x^2$ ，从 $2$ 个元素中选取 $1$ 个的组合数量为 $2$ ；选取 $2$ 个的组合数量为 $1$ 。

对于 $(x+1)^3 = 1x^0 + 3x^1 + 3x^2 + x^3$ ，从 $3$ 个元素中选取 $1$ 个的组合数量为 $3$ ；选取 $2$ 个的组合数量为 $3$ ；选取 $3$ 个的组合数量为 $1$ 。

排列

在包含 $n$ 个互不相同元素的集合 $A$ 中选出任意 $m$ 个元素（ $m \leq n$ ）组成排列 $B$ 。排列有顺序的概念，元素数量相等且所有位置上元素也相同的排列才相同。例如 $s_1 = [1,2,3], s_2 = [3,2,1], s_3 = [2,3]$ 是各不相同的排列。

从 $n$ 个元素中任意取出 $m$ 个元素组成的所有排列的数量为：

$P_m^n = \frac{n!}{(n-m)!}$

也写作

$A_m^n = \frac{n!}{(n-m)!}$

维基百科中特别提到中国大陆教材中写做 $A_n^m$ 。

特别的当 $m = n$ 时，称 $P_n^n$ 为全排列， $P_n^n = n!$ 。

阶乘

阶乘的定义为：

$n! = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n = \prod_{k = 1}^n k & \forall n \gt 0 \end{cases}$

阶乘的递归定义为：

$n! = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ (n-1)! \times n & \forall n \gt 0 \end{cases}$

数学符号表

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_symbols